GEOMETRÍAS NO EUCLÍDEAS

Al hablar de Geometría, nuestro pensamiento se traslada casi inevitablemente a un plano y aparecen por doquier puntos, rectas y  figuras diversas que satisfacen –entre otras condiciones y propiedades- el quinto postulado de Euclides. Esta asociación inherente al término Geometría se debe esencialmente a que todo individuo “promedio” estudia –dentro de su educación básica- los elementos esenciales de es esta rama de la geometría únicamente.

En este artículo vamos a explorar brevemente los aspectos más relevantes de algunas Geometrías no Euclídeas, que –a pesar de no formar parte de los currícula convencionales- son de gran utilidad dadas sus aplicaciones en campos como la astronomía y la navegación.

Por ejemplo, la GEOMETRÍA DESCRIPTIVA es la “parte de las matemáticas que tiene por objeto representar en proyecciones planas las figuras del espacio a manera de poder resolver con la ayuda de la geometría plana, los problemas en que intervienen tres dimensiones es decir representar en él las figuras de los sólidos.” (Fernández, G)

Esta geometría es fundamental en áreas como la arquitectura,  el diseño,  la ingeniería y la mecánica. 

Por otra parte, durante la época del Renacimiento los pintores aplicaron en sus obras las ideas de los matemáticos griegos y fundamentaron una nueva rama en las matemáticas –la GEOMETRÍA PROYECTIVA- al conseguir plasmar en lienzos planos los objetos y las figuras tridimensionales tal como son.

En este campo, tuvieron especial relevancia grandes artistas como Leonardo da Vinci, Rafael Sanzio o Alberto Durero. (Ruiz, J)

Mientras tanto, la GEOMETRÍA ALGEBRAICA estudia los sistemas de ecuaciones polinómicas con coeficientes en un cuerpo. Conviene comparar esta “definición” con otra más conocida: El álgebra lineal estudia los sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes en un cuerpo.

En efecto, el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales pasó hace mucho tiempo de ser una mera manipulación de fórmulas a convertirse en el estudio de una serie de estructuras algebraicas abstractas, […] que permiten comprender en profundidad el comportamiento de los sistemas de ecuaciones lineales. Más aún, por una parte los conectan con la geometría, de modo que —por ejemplo— podemos pensar que la solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con tres incógnitas es el conjunto de puntos de la recta en que se cortan los dos planos determinados por las ecuaciones (salvo que estos sean paralelos o coincidentes, lo cual tiene también su interpretación en cuanto al comportamiento de las ecuaciones).

Así, la geometría algebraica tiene ante sí un doble objetivo: por una parte debe entender la conexión directa que existe entre el álgebra de la geometría algebraica y la geometría subyacente en el caso en que dicha geometría existe realmente como algo independiente del álgebra. (Castillo, C)

“Mientras el álgebra y la geometría han estado separadas, su progreso ha sido lento y sus aplicaciones limitadas; pero cuando estas dos ciencias se han unido, han intercambiado sus fuerzas y han avanzado juntas hacia la perfección.”

J.L.Lagrange

Por otra parte, la GEOMETRÍA DIFERENCIAL es una técnica que, mediante métodos diferenciales, da respuesta a numerosos problemas matemáticos y además se puede completar con las herramientas necesarias para introducir la Geometría Riemannniana que es una teoría que única la geometría euclidiana, la llamada geometría analítica, la geometría proyectiva y la geometría hiperbólica. También deja el camino abierto para introducir la Geometría Pseudo-Riemanniana que da un marco adecuado para el estudio de la Teoría de la Relatividad. (HERNANDEZ, L.)

Fuentes

Castillo, C. S.f. GEOMETRÍA ALGEBRAICA. Recuperado de  http://www.uv.es/ivorra/Libros/Geomalg.pdf.

Fernández, G. S.f. Geometría Descriptiva. Recuperado de http://www.astraph.com/udl/biblioteca/antologias/geometria_descriptiva.pdf.

HERNANDEZ, L. S.f. INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA DIFERENCIAL. Recuperado de http://www.unirioja.es/cu/luhernan/gdfolder/gd.pdf

Ruiz, J. S.f. GEOMETRIA PROYECTIVA, UNA EXPOSICION. Recuperado de http://www.mat.ucm.es/~jesusr/expogp/expogp.html#digi